Cálculo del radio de la Tierra ¡con un palo!

¿Alguna vez te has parado a pensar cuánto mide el radio de la Tierra? Si te dijera que la primera evidencia de este cálculo es anterior al nacimiento de Cristo ¿te sorprendería, verdad? La maravillosa historia oculta detrás este de fenómeno te enseñará cómo era el pensamiento científico en la antigüedad, y además, lo importante que ha sido el cambio sufrido por la ciencia para el ser humano contemporáneo.

La evolución de la ciencia

La ciencia es una disciplina que ha supuesto un antes y un después en la historia de los seres humanos. Gracias a ella y, en última instancia, al método científico, la humanidad ha logrado descifrar algunos de los enigmas más importantes acerca de la naturaleza del entorno que le rodea. La ley de la gravitación universal, el descubrimiento de la penicilina, la relatividad de Einstein, la selección natural, el diseño de los primeros motores de combustión interna, entre otros, son ejemplos de importantes hallazgos científicos.

Gran parte de los descubrimientos científicos tienen en común que se han realizado en un periodo de tiempo relativamente corto en la historia del ser humano. La mayoría de los hitos científicos han tenido lugar a partir del 1600 d.C, es decir, a partir del siglo XVII. El “boom” que ha experimentado la ciencia para ser lo que es a día de hoy ha ocurrido en poco más de 400 años.

Si dividimos 1600 años (esto es desde el año 0 d.C hasta el 1600 d.C) en grupos de cuatro, del tal forma que cada uno contiene 400 años, el total de descubrimientos científicos revolucionarios que tuvieron lugar en cada intervalo se pueden contar con los dedos de ambas manos. ¡Ahí es nada!

La ciencia en la antigüedad

¿Y qué pasa con la ciencia en los tiempos antes de Cristo? Durante esta etapa tuvieron lugar un total de diez descubrimientos científicos importantes: desde Aristarco proponiendo por primera vez en la historia un modelo heliocéntrico del sistema solar hasta el célebre Eratóstenes, que logró estimar con gran precisión el radio de la Tierra. No sé vosotros, pero que tales reflexiones surgieran ya en aquellos tiempos ¡a mí me fascina!

Una característica muy interesante acerca de las invenciones científicas, propias de los tiempos anteriores a Cristo, es que muchísimas de ellas fueron efectuadas por los griegos. Es más, son muchos los científicos que han afirmado que fueron ellos, los antiguos griegos, los pioneros de la “ciencia”, es decir, los primeros en ejercerla.

Las cartas sobre la mesa, en un sentido científico estricto, los antiguos griegos eran personas que tenían un modus operandi lógico-cognitivo muy diferente al pensamiento científico actual. El principal motivo radica en que por aquel entonces no existía ni el método científico ni la mentalidad moderna de ahora, la cual, defiende que el pilar fundamental de todo experimento y análisis científico es la observación empírica. Esta es la razón por la que previamente he comentado que los antiguos griegos fueron los primeros en hacer “ciencia” y no ciencia. Considero que este matiz es de gran relevancia para el tema que se está tratando.

El pensamiento griego antiguo

En consonancia con lo anterior, los antiguos griegos se caracterizaban por emplear un enfoque mucho más racional que experimental. En otras palabras, para ellos la razón trascendía a la experiencia y a la observación. Se podría decir que estos intelectuales eran más partidarios de aplicar una doctrina muy intrínseca a las bases del racionalismo cartesiano moderno.

En honor a la verdad, para solamente disponer del raciocinio como única arma, las conclusiones a la que llegaban eran absolutamente sorprendentes. Un hallazgo que ejemplifica esta afirmación a la perfección es el caso del filósofo Eratóstenes, quien con un palo, trigonometría y uso frío de la lógica consiguió estimar con suma exactitud para la época (en torno al 240 a.C) el radio de la Tierra. Ahora bien ¿cómo lo hizo?

Medición del radio de la Tierra

Eratóstenes (276 a.C – 194 a.C) fue un filósofo nacido en Cirene y fallecido en la ciudad egipcia de Alejandría. Eratóstenes fue polímata, matemático y astrónomo. Su principal legado en el ámbito científico, como se ha comentado ya previamente, es que fue el primero que midió con exactitud diabólica el radio de la Tierra. ¡La historia es cuanto más sorprendente!

La ciudad egipcia de Siena

En torno al 240 a.C, Eratóstenes ocupaba el cargo de bibliotecario de Alejandría. Este lugar fue durante bastante tiempo considerado como una de las bibliotecas más importantes del mundo debido a la gran cantidad de conocimiento que se escondía tras sus puertas.

La historia cuenta que un día, el joven Eratóstenes, en plenas labores de bibliotecario, encontró un informe de observaciones sobre Siena, otra ciudad egipcia situada a unos 800 km al sur de Alejandría. En dicho documento figuraba que el día del solsticio de verano, 21 de junio, a las 12:00 del reloj solar, los objetos como por ejemplo, los obeliscos no producían sombra, y además, que en el fondo de los pozos podía verse la luz del sol. Tras la lectura de tales testimonios, el joven Eratóstenes se quedó desconcertado. ¿Cómo podía ser eso posible?

Eratóstenes observó que en Alejandría, en el solsticio de verano y al mediodía solar, no se producía este mismo suceso. Este hecho le condujo a pensar de manera correcta que el Sol se encontraba a gran distancia y que sus rayos, al alcanzar la Tierra, lo hacían en forma (prácticamente) paralela. Esto le permitió ratificar una hipótesis que desde hace tiempo ya vagaba por su mente. Sospechaba que la superficie de la Tierra era curva. Si fuera plana, no se hubiese producido esta diferencia de sucesos entre las dos ciudades. ¿Qué contestarían a esto nuestros amigos terraplanistas?

El papel de los trópicos

Tras mucho pensar, entendió que la inexistencia de las sombras era consecuencia de que, en primer lugar, la ciudad de Siena estaba situada sobre el paralelo del trópico, concretamente unos 33′ al norte del trópico de Cáncer. Y en segundo lugar, que el Sol, ese día y a esa hora, se encontraba en el cenit, definido como el punto más alto de la trayectoria solar. Cuando el Sol está en el cenit, está localizado justo encima de aquel que lo observa, iluminando todo el alrededor y provocando que la sombra vertical del observador desaparezca. Ahora bien ¿cómo llegó Eratóstenes a tal suposición?

Observaciones solares

Para llegar al razonamiento anterior, Eratóstenes se dedicó a observar los movimientos de rotación y traslación de la Tierra. El movimiento de traslación es la vuelta que realiza la Tierra en torno al Sol describiendo una órbita elíptica. Este movimiento se completa aproximadamente cada 365 días, es decir, un año. Por otro lado, tenemos el movimiento de rotación, que es aquel que la Tierra realiza sobre su eje de giro cada 24 horas, dando lugar así, a la sucesión de los días y de las noches.

A la reflexión anterior hay que sumar un matiz adicional, y es que el eje de rotación de la Tierra no es recto, sino que está ligeramente inclinado hacia un lado, causando así, las estaciones. De esta manera, mientras la Tierra realiza su órbita en torno al Sol, la cantidad de luz que llega proveniente de este, varía según la época del año en la que estemos. Este suceso claramente se ve reflejado, por ejemplo, en las variaciones de temperatura entre las distintas estaciones, o en que los días en verano son más largos y en invierno son más cortos.

¡Os entiendo! A priori, parece un poco difícil visualizar todo esto en la mente. Por ello, hagamos un cambio de perspectiva. Para una persona totalmente fija en la Tierra, el Sol “sigue aparentemente” (no se mueve él sino la Tierra) una trayectoria prácticamente idéntica a la de una semiesfera. El Sol recorre un arco de aproximadamente 180º. Aunque, en realidad, el arco visible es un poco menor debido a que la visión del observador está condicionada por la curvatura terrestre.

Así las cosas, el día del solsticio de verano, el Sol se encuentra en el punto más alto de su trayectoria, y su luz incide verticalmente sobre el trópico de cáncer. De este modo, en el mediodía solar, cualquier objeto o persona situada en el trópico de cáncer no proyecta sombra. Y para más inri, en cualquier otro punto de la Tierra, esa misma persona u objeto, sí que proyectará sombra. La sombra en cuestión será más alargada cuanto más lejos del trópico esté o cuanto más pequeña sea la Tierra.

Este pensamiento fue el que llevó a nuestro querido amigo Eratóstenes a esgrimir la siguiente conclusión: “Si el 21 de junio estuviésemos en cualquier lugar del mundo distinto de los trópicos, y a las 12:00 del reloj solar, midiéramos el ángulo entre un objeto perpendicular al suelo y su sombra, en realidad estaríamos midiendo también el ángulo entre el trópico y nuestra localización”. Aplicando trigonometría básica, y sabiendo la distancia entre el trópico y nosotros, se podría calcular el radio de la Tierra. ¡Alucinante! ¿Verdad? Matemáticamente hablando, el diagrama trigonométrico seguido por Eratóstenes sería el mostrado en el dibujo.

El ángulo θ que forman los rayos de Sol con la vertical de Alejandría, coincide con la diferencia de latitudes entre ambas ciudades (Siena y Alejandría). D es la distancia que separa ambas ciudades. Es más, el ángulo θ es el mismo que se obtiene al calcular la tangente del valor resultante de dividir la sombra que proyecta dicho objeto entre su altura. Eratóstenes realizó estas mediciones en Alejandría en el año 240 a.C, y como objeto para realizarlas usó un “simple palo”. Matemáticamente hablando, la fórmula en cuestión empleada fue la siguiente:

tan(θ) = s / h

La incógnita h simboliza la altura del palo usado por Eratóstenes. Por su parte, s representa la sombra vertical que dicho palo proyecta en el suelo. Haciendo el cociente tal y como indica la fórmula obtenemos la tangente del ángulo θ, el cual, coincide con el ángulo entre el radio de la Tierra y el trópico de Cáncer. Tras hallar el cociente de ambos valores, solo hay que hacer la arcotangente de ese resultado y ¡voilà! ya tenemos el ángulo buscado.

Según los cálculos realizados, el valor de θ obtenido fue de 7º y 12′ aproximadamente. Aquí, Eratóstenes pensaría: “si un ángulo de 7º y 12′ representa el arco (distancia) entre Alejandría y Siena, un ángulo de 360º equivale a la longitud total de una circunferencia (2Ï€R)“. Simplificando se obtiene la siguiente ecuación:

R = (180 * D) / (θ * π)

La incógnita R es el radio de la Tierra, es decir, el valor que deseamos calcular. D es la distancia entre ambas ciudades (Siena y Alejandría) y θ es el ángulo que ya conocemos gracias a la ecuación anterior. En definitiva, solo falta quitar la última piedra del camino para poder saber el radio de la Tierra, y es, conocer la distancia física existente entre ambas ciudades. Después solamente habría que aplicar la fórmula ¿Cuál fue el método seguido por Eratóstenes?

Eratóstenes y “la última cruzada”

Para poder medir la distancia entre ambos puntos Eratóstenes puso en marcha una metodología un tanto “peculiar“. La historia dice que como primera opción usó ¡un esclavo! El planteamiento era medir la planta del pie del esclavo, para después, multiplicarla por el número de pasos dados. El problema de este procedimiento era que el esclavo se cansaba con facilidad, y además, el hecho de pisar sobre terreno arenoso dificultaba que los pasos tuvieran una longitud constante.

Por ello, Eratóstenes terminó por usar dromedarios para este cometido. La razón estriba en que estos animales tenían mucha facilidad para mantener un ritmo de paso constante, y además, porque están mejor adaptados para caminar por la arena a diferencia de otros cuadrúpedos como, por ejemplo, los caballos. ¡El viaje duró días! Estamos hablando de unos 924 km de distancia entre ellas. ¡Es increíble el ser humano!

Tras completar “la última cruzada”, el conteo de pasos dio el veredicto de que entre ambas ciudades había un total de 5000 estadios. Un estadio era una unidad de longitud de la Antigüedad, principalmente en Grecia y Egipto, que equivale a 160 m, más o menos. Haciendo cuentas se obtiene que Eratóstenes recorrió ¡a pie! 800 km. Con los datos ya calculados, obtener el radio de la Tierra es muy fácil.

Si sabemos que el ángulo θ genera una longitud de arco de 800 km, un ángulo de 360º generaría el perímetro total de la Tierra puesto que ese ángulo equivale a una circunferencia completa. Y como la longitud total de una circunferencia es equivalente a la fórmula 2πR, simplemente hay que dividir por la constante 2π. Sustituyendo los datos y efectuando los cálculos se tiene que el radio de la Tierra es de 6437.72km, contra los 6371 km, que es la medida actualmente tomada como referencia. ¡Increíble!

En definitiva, se puede concluir que Eratóstenes, en el siglo III a.C, usando palos, ojos, dromedarios y cerebro, consiguió obtener el radio de la Tierra con un error prácticamente ínfimo, en torno al 2%. Ahora bien ¿cuál es el origen de este error?

Errores e imprecisión matemática

Para que una medida en física tenga sentido siempre es importante matizar tanto el número de cifras significativas que se van a emplear para hacer cálculos y expresar el resultado, como la incertidumbre de la medida. La realidad es que siempre se pueden cometer muchísimos errores.

Como el radio de la Tierra se está obteniendo por medio de la longitud entre las dos ciudades (Siena y Alejandría), en la ecuación denominada como D, y por el ángulo que forman la altura del palo con su sombra proyectada, en la fórmula expresado mediante θ, habría que controlar con sumo cuidado el error en ambas mediciones. Tomando como premisa los recursos de aquella época es fácil pensar, que fue en este paso, donde Eratóstenes metió la gamba.

Tomando como referencia las razones trigonométricas básicas (véase imagen inferior), la altura del palo sería el cateto adyacente (seno) y la sombra sería el cateto opuesto (coseno). La tangente del ángulo es el cociente entre ambas mediciones y el ángulo en cuestión sería calcular la arcotangente del valor anterior.

Imaginemos que Eratóstenes hubiese empleado un metro con graduación milimétrica. Bajo este supuesto, el error que podría cometer en la medida del palo y de la sombra es como mínimo de un milímetro precisamente. Y en relación a lo anterior, el máximo error que podría cometer al calcular θ sería midiendo un milímetro de más en la altura del palo y un milímetro de menos en la longitud de la sombra, o al revés. A simple vista parecen errores muy pequeños y despreciables. Sin embargo, hay que tener en cuenta que todos los errores que se cometen con las medidas se propagan a su vez en los cálculos, generando así, un efecto de “bola de nieve”.

Adicionalmente, se tiene la medición correspondiente a la longitud entre ambas ciudades. Si fuésemos nosotros los encargados de hacer los cálculos tendríamos que tener en cuenta un sinfín de factores que nos podrían inducir fácilmente a error. Habría que tener en cuenta la longitud sobre el nivel del mar, si estamos en el mismo paralelo y meridiano, la calidad y tipo de relieve, el achatamiento de la Tierra, etcétera. Recordemos que la Tierra no es esférica sino un geoide, es decir, una esfera un poco aplanada por los polos.

Todos estos cálculos se pueden hacer, a día de hoy, con herramientas muy sofisticadas, como por ejemplo Google Maps. Sin embargo, en la otra cara de la moneda tenemos al erudito Eratóstenes ¡que lo hizo a pie! Eso por no decir que si se empeñó en calcular el radio de la Tierra es porque sospechaba que esta era esférica, conjetura que para el contexto histórico en el que la hizo, tiene un mérito increíble.

Experimento simulable

En resumen, hemos aprendido como en la antigüedad, el genio Eratóstenes logró calcular el radio de la Tierra con un palo, así como los cálculos y la metodología que siguió para conseguirlo. La forma en la que lo logró y los resultados que obtuvo me llevan a introducir este ensayo en la colección de “experimentos fantásticos“. ¡Menudo ejemplar!

Personalmente, lo que más me cautiva es que actualmente, casi 2000 años después, nosotros podemos con muchas más facilidades replicarlo. Solamente tenemos que esperar hasta el 21 de junio, y al mediodía solar, medir un palo y su sombra. Después medimos nuestra distancia al trópico de Cáncer con Google Maps, o con cualquier otra herramienta, aplicamos las fórmulas y ¡lo tenemos! ¿Quién se anima?